【反三角函数公式是什么】反三角函数是三角函数的反函数，主要用于求解已知三角函数值所对应的角度。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。它们在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
以下是常见的反三角函数及其定义和基本公式：
一、反三角函数的基本定义
| 函数名称 | 符号表示 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | $ y = \arcsin(x) $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | $ -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} $ |
| 反余弦 | $ y = \arccos(x) $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | $ 0 \leq y \leq \pi $ |
| 反正切 | $ y = \arctan(x) $ | $ x \in \mathbb{R} $ | $ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} $ |
二、常见反三角函数公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦与反余弦关系 | $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $ |
| 正切与反正切关系 | $ \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} $ （当 $ x > 0 $） |
| 正切与反余切关系 | $ \arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} $ |
| 反正弦的导数 | $ \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 反余弦的导数 | $ \frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| 反正切的导数 | $ \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、反三角函数的常用恒等式
| 恒等式名称 | 公式表达式 |
| 反正弦的对称性 | $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $ |
| 反余弦的对称性 | $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $ |
| 反正切的对称性 | $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $ |
| 反正切的加法公式 | $ \arctan(a) + \arctan(b) = \arctan\left( \frac{a + b}{1 - ab} \right) $ （当 $ ab < 1 $） |
四、反三角函数的图像特征
- 反正弦函数：图像在区间 $ [-1, 1] $ 上单调递增，图像关于原点对称。
- 反余弦函数：图像在区间 $ [-1, 1] $ 上单调递减，图像不关于原点对称。
- 反正切函数：图像在整个实数范围内单调递增，且有水平渐近线 $ y = \pm \frac{\pi}{2} $。
总结
反三角函数是解决三角函数逆运算的重要工具，它们在计算角度、解析几何、微积分等领域中广泛应用。掌握其定义、公式和性质有助于更深入地理解三角函数的本质，并能有效应用于实际问题中。通过表格形式总结，可以更加清晰地了解不同反三角函数之间的关系与特性。