【伽马函数常用值】伽马函数（Gamma Function）是阶乘概念的推广，广泛应用于数学、物理和工程领域。对于正整数 $ n $，伽马函数满足 $ \Gamma(n) = (n-1)! $。然而，伽马函数的定义域不仅限于正整数，它在复平面上几乎处处都有定义，除了非正整数点。
本文将总结一些常见的伽马函数值，并以表格形式呈现，便于查阅和理解。
常见伽马函数值总结
| $ x $ | $ \Gamma(x) $ | 说明 |
| 0.5 | $ \sqrt{\pi} \approx 1.77245 $ | $ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} $ |
| 1 | $ 1 $ | $ \Gamma(1) = 0! = 1 $ |
| 1.5 | $ \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0.88623 $ | $ \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) $ |
| 2 | $ 1 $ | $ \Gamma(2) = 1! = 1 $ |
| 2.5 | $ \frac{3\sqrt{\pi}}{4} \approx 1.32934 $ | $ \Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) $ |
| 3 | $ 2 $ | $ \Gamma(3) = 2! = 2 $ |
| 3.5 | $ \frac{15\sqrt{\pi}}{8} \approx 3.32335 $ | $ \Gamma\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{5}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{5}{2}\right) $ |
| 4 | $ 6 $ | $ \Gamma(4) = 3! = 6 $ |
| 4.5 | $ \frac{105\sqrt{\pi}}{16} \approx 11.6317 $ | $ \Gamma\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{7}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{7}{2}\right) $ |
补充说明
伽马函数具有递推性质：
$$
\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)
$$
这一性质使得我们可以从已知的某些值推导出其他值。例如，知道 $ \Gamma(1/2) $ 后，可以计算 $ \Gamma(3/2) $、$ \Gamma(5/2) $ 等。
此外，伽马函数在概率论中也非常重要，如在伽马分布、贝塔分布等模型中频繁出现。
通过上述表格与说明，我们可以对伽马函数的一些常用值有一个清晰的认识，有助于在实际应用中快速查找和使用。