【函数运算求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数运算求导公式，有助于快速解决数学、物理、工程等领域的问题。以下是对常见函数运算的求导公式进行总结，并以表格形式展示。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、函数的四则运算求导法则
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 加法 | $ (f + g)' = f' + g' $ | 两个函数和的导数等于各自导数之和 |
| 减法 | $ (f - g)' = f' - g' $ | 两个函数差的导数等于各自导数之差 |
| 乘法 | $ (fg)' = f'g + fg' $ | 乘积的导数为第一个函数的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数 |
| 除法 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $（$ g \neq 0 $） | 商的导数为分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母的平方 |
三、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
四、高阶导数简介
对于某些函数，可以求其二阶、三阶甚至更高阶的导数。例如：
- $ f(x) = x^3 $，则：
- 一阶导数：$ f'(x) = 3x^2 $
- 二阶导数：$ f''(x) = 6x $
- 三阶导数：$ f'''(x) = 6 $
五、总结
掌握函数运算求导公式，是学习微积分的基础。通过对基本初等函数的导数、四则运算规则、链式法则以及高阶导数的理解与应用，可以更高效地解决实际问题。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的记忆与灵活运用能力。
如需进一步了解反函数、隐函数或参数方程的求导方法，可继续深入学习相关章节。