【阶乘的公式是什么】阶乘是数学中一个常见的概念，尤其在组合数学、概率论和排列组合问题中广泛应用。它表示一个正整数从1到该数的所有正整数的乘积。下面我们将详细解释阶乘的定义、计算方法，并通过表格形式展示其具体数值。
一、阶乘的定义
阶乘（Factorial）通常用符号“!”表示。对于一个非负整数 $ n $，其阶乘记作 $ n! $，定义如下：
$$
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
$$
其中，特别规定：
$$
0! = 1
$$
这个定义在数学中被广泛接受，尤其是在排列组合和组合数学中具有重要意义。
二、阶乘的计算方式
阶乘的计算方式相对简单，只需将从1到该数的所有正整数相乘即可。例如：
- $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $
- $ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $
需要注意的是，阶乘增长速度非常快，因此当 $ n $ 较大时，阶乘的结果会迅速变得非常庞大。
三、阶乘的数值表（部分）
以下是一些常见整数的阶乘值，方便查阅和理解其增长趋势：
| 数字 $ n $ | 阶乘 $ n! $ |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
从表中可以看出，随着 $ n $ 的增大，阶乘的增长速度呈指数级上升。
四、阶乘的应用
阶乘在多个数学领域中都有重要应用，包括但不限于：
- 排列组合：用于计算排列数和组合数。
- 概率论：在计算事件的可能性时常用到阶乘。
- 计算机科学：在算法分析中用于衡量时间复杂度。
五、总结
阶乘是一种基础但强大的数学工具，适用于多种计算场景。其公式为：
$$
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 1
$$
并且 $ 0! = 1 $ 是一个重要的特殊规定。通过表格我们可以直观地看到不同数字对应的阶乘值，从而更好地理解其增长规律和实际应用价值。