【什么是负定矩阵】在数学，尤其是线性代数中，矩阵的性质对于理解其应用具有重要意义。其中，“负定矩阵”是一个重要的概念，常用于优化、微分方程和统计学等领域。负定矩阵不仅与正定矩阵相对，还具有独特的性质和应用场景。
一、
负定矩阵是指一个对称矩阵，其所有特征值均为负数。这意味着，对于任何非零向量 x，二次型 x^T A x 的结果总是负数。负定矩阵在数学分析中常用于判断函数的极小点或极大点，尤其在优化问题中具有重要价值。
与正定矩阵相比，负定矩阵的二次型始终为负，而正定矩阵的二次型始终为正。此外，负定矩阵的行列式也是正数，但其主子式符号交替变化（即奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正）。
负定矩阵在经济学、物理学和工程学中也有广泛应用，例如在稳定性分析、能量函数研究等方面。
二、表格对比：正定矩阵 vs 负定矩阵
| 特征 | 正定矩阵 | 负定矩阵 |
| 定义 | 对称矩阵，所有特征值 > 0 | 对称矩阵，所有特征值 < 0 |
| 二次型 | x^T A x > 0（x ≠ 0） | x^T A x < 0（x ≠ 0） |
| 行列式 | 正数 | 正数 |
| 主子式符号 | 所有主子式 > 0 | 奇数阶主子式 < 0，偶数阶主子式 > 0 |
| 应用场景 | 最小化问题、凸函数 | 极大化问题、凹函数 |
| 例子 | 矩阵 [[2, 1], [1, 2]] | 矩阵 [[-2, -1], [-1, -2]] |
三、结论
负定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学理论和实际应用中都具有重要意义。通过理解负定矩阵的定义、性质及其与正定矩阵的区别，可以更深入地掌握矩阵在不同领域的应用方式。无论是优化问题还是物理建模，负定矩阵都是不可或缺的工具之一。