【增函数加增函数还是增函数吗】在数学中，函数的单调性是一个重要的性质。当我们说一个函数是“增函数”时，通常是指在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也随之增大。那么问题来了：两个增函数相加后，结果还是增函数吗？
本文将通过分析和举例，总结这一问题的答案，并以表格形式清晰展示。
一、结论总结
两个增函数相加后，结果仍然是增函数。
这是因为：如果 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是增函数，那么对于任意的 $ x_1 < x_2 $，都有：
$$
f(x_1) \leq f(x_2), \quad g(x_1) \leq g(x_2)
$$
因此，
$$
(f + g)(x_1) = f(x_1) + g(x_1) \leq f(x_2) + g(x_2) = (f + g)(x_2)
$$
即 $ f + g $ 是增函数。
不过需要注意的是，若其中一个函数是严格增函数，另一个是普通增函数（非严格），则结果可能为严格增函数或普通增函数，具体情况需视函数而定。
二、关键点分析
| 条件 | 函数类型 | 结果函数类型 | 是否严格增 |
| 两个增函数 | 增函数 | 增函数 | 可能非严格 |
| 一个严格增，一个增 | 严格增 + 增 | 严格增 | 是 |
| 两个严格增函数 | 严格增 | 严格增 | 是 |
> 说明：
- “增函数”一般指“非严格增函数”，即 $ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2) $。
- “严格增函数”则是 $ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) $。
三、举例说明
1. 例1：两个增函数相加
- $ f(x) = x $
- $ g(x) = x^2 $（在 $ x \geq 0 $ 区间内为增函数）
- $ (f + g)(x) = x + x^2 $，在 $ x \geq 0 $ 上为增函数。
2. 例2：严格增 + 增
- $ f(x) = x $（严格增）
- $ g(x) = x $（增）
- $ (f + g)(x) = 2x $，严格增。
3. 例3：增 + 增（非严格）
- $ f(x) = 0 $（常函数，可视为增函数）
- $ g(x) = x $
- $ (f + g)(x) = x $，仍为增函数。
四、注意事项
- 在某些特殊情况下，如函数在某点导数为零，可能导致函数在该点附近不是严格增函数。
- 如果函数不连续或定义域不一致，可能会导致加法后的函数性质发生变化。
五、总结
综上所述，两个增函数相加后，结果仍然是增函数，但在某些情况下可能是非严格的。理解这一点有助于我们在处理复合函数、导数分析以及实际应用问题时更准确地判断函数的单调性。