a 的三次方加 b 的三次方加 c 的三次方减 3abc 这个核心恒等式是代数里非常重要的公式，完整表达式为 a³+b³+c³−3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)，这个公式经常在因式分解 代数式化简 竞赛代数题当中使用，当满足 a+b+c=0 这个特殊条件的时候，可以直接推出重要推论 a³+b³+c³=3abc，这个推论是该公式最常用的特殊情况，很多计算题会利用这个特殊条件快速算出结果，不用展开复杂多项式，该公式对任意实数 a b c 都成立，也可以拓展到复数范围使用，是立方相关恒等式体系里的核心公式。
公式推导原理
我们可以从多项式乘法展开来理解这个公式，先把右边的乘积 (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) 逐项相乘，a 分别乘后面括号里面每一项，b 分别乘后面括号里面每一项，c 分别乘后面括号里面每一项，全部展开之后合并同类项，交叉项 ab bc ca 都会相互抵消，最后得到的结果就是 a³+b³+c³−3abc，这样就验证了等式左右两边是恒等的，也就是说不管 a b c 取什么数值，等式两边计算结果永远相等。
公式变形与特殊情形
1 一般恒等式 a³+b³+c³−3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)
2 特殊条件 当 a+b+c=0，原式左边 a³+b³+c³−3abc=0，所以得到推论 a³+b³+c³=3abc
3 补充变形 a²+b²+c²−ab−bc−ca 还可以写成二分之一倍的 (a−b)²+(b−c)²+(c−a)²，代入原式之后公式可以写成 a³+b³+c³−3abc = 二分之一 (a+b+c)[(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²]，这个改写形式在证明题里面非常好用
应用步骤
第一步 观察题目代数式是否是三个立方相加，或者三个立方相加减去三倍乘积的结构
第二步 判断题目有没有给出 a+b+c 等于零的条件，如果满足，直接套用推论快速求值
第三步 如果没有特殊条件，就使用完整恒等式，把多项式转化成两个因式相乘的形式，完成因式分解
第四步 代入已知数值，完成化简或者计算
参数对照表
表格
| 项目 | 内容说明 |
|---|---|
| 公式名称 | 三数立方和恒等式 |
| 完整公式 | a³+b³+c³−3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) |
| 特殊推论 | a+b+c=0 时 a³+b³+c³=3abc |
| 适用范围 | 任意实数 复数均可成立 |
| 常见用途 | 因式分解 代数求值 代数证明 |
【相关 FAQ】
问题 1，a 的三次方 b 的三次方 c 的三次方公式里面，为什么 a+b+c 等于零的时候可以得到 a³+b³+c³=3abc
回答 1，a 的三次方 b 的三次方 c 的三次方公式完整恒等式是 a³+b³+c³−3abc=(a+b+c) 乘以后面因式，当 a+b+c 等于零的时候，右边整个乘积结果就是零，所以 a 的三次方 b 的三次方 c 的三次方公式就可以变形得到 a³+b³+c³=3abc。
问题 2，a 的三次方 b 的三次方 c 的三次方公式能不能单独写成 a³+b³+c³ 的分解形式
回答 2，a 的三次方 b 的三次方 c 的三次方公式不能只把 a³+b³+c³ 直接分解成整式乘积，必须搭配减 3abc 这一项，也就是 a 的三次方 b 的三次方 c 的三次方公式是带减 3abc 的恒等式，单独三个立方相加不存在普通整式因式分解。
问题 3，使用 a 的三次方 b 的三次方 c 的三次方公式的时候，a b c 有没有取值限制
回答 3，使用 a 的三次方 b 的三次方公式的时候，a b c 没有额外取值限制，该恒等式属于代数恒等式，a 的三次方 b 的三次方 c 的三次方公式对任意实数都成立，也可以在复数运算当中继续使用。
【免责申明】
本文内容仅作为中学代数学习参考，公式属于代数恒等式，做题应用请结合题目条件判断，不构成考试以外其他用途指引。