【三角函数公式总结】在数学学习中，三角函数是一个重要的组成部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对三角函数性质的理解。以下是对常见三角函数公式的系统性总结，便于复习和查阅。
一、基本三角函数定义
设角 $ \theta $ 的终边与单位圆交于点 $ (x, y) $，则有：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | $ \sin\theta = y $ |
| 余弦 | $ \cos\theta = x $ |
| 正切 | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $（$ x \neq 0 $） |
| 余切 | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $（$ y \neq 0 $） |
| 正割 | $ \sec\theta = \frac{1}{x} $（$ x \neq 0 $） |
| 余割 | $ \csc\theta = \frac{1}{y} $（$ y \neq 0 $） |
二、同角三角函数关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ |
| 倒数关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 公式表达式 |
| $ -\theta $ | $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $, $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ |
| $ \pi - \theta $ | $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $, $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ |
| $ \pi + \theta $ | $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $, $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ |
| $ \frac{\pi}{2} - \theta $ | $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta $, $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta $ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差公式 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差公式 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦乘积 | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
| 余弦乘积 | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) + \cos(A + B)] $ |
| 正弦余弦乘积 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| 正弦差 | $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| 余弦和差 | $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| 余弦差 | $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
九、特殊角的三角函数值
| 角度（度） | 弧度 | $ \sin\theta $ | $ \cos\theta $ | $ \tan\theta $ |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| 45° | $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | 1 |
| 60° | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \sqrt{3} $ |
| 90° | $ \frac{\pi}{2} $ | 1 | 0 | 无定义 |
通过以上系统的总结，可以更清晰地理解三角函数的规律与应用，便于在实际问题中灵活运用。建议结合具体题目进行练习，以达到熟练掌握的目的。